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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

EJERCICIO 2.1

A partir de cada gráfica de la función, determinar:

lim⁡x→a+f(x)lim⁡x→a−f(x)lim⁡x→af(x)\lim_{{x \to a^+}} f(x) \quad \lim_{{x \to a^-}} f(x) \quad \lim_{{x \to a}} f(x)

a)
b)
c)
d)
EJERCICIO 2.2

Dada la función g(x)g(x), cuya gráfica aparece a continuación, decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas.

a) lim⁡x→1+g(x)=1\lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)=1
b) lim⁡x→1−g(x)=1\lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)=1
c) lim⁡x→0−g(x)=1\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=1
d) lim⁡x→0−g(x)=0\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=0
e) lim⁡x→0−g(x)=lim⁡x→0+g(x)\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)
f) lim⁡x→0g(x)\lim _{x \rightarrow 0} g(x) existe
g) lim⁡x→0g(x)=0\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0
h) lim⁡x→0g(x)=1\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1
i) lim⁡x→1g(x)=1\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=1
j) lim⁡x→1g(x)=0\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=0
k) lim⁡x→2−g(x)=2\lim _{x \rightarrow 2^{-}} g(x)=2
l) lim⁡x→−1−g(x)\lim _{x \rightarrow-1^{-}} g(x) no existe
m) lim⁡x→2+g(x)=0\lim _{x \rightarrow 2^{+}} g(x)=0
EJERCICIO 2.3

Dadas las siguientes funciones, calcular los límites indicados.

a) lim⁡x→3f(x)\lim _{x \rightarrow 3} f(x) si f(x)={2x+3x≤3x−1x>3f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x+3 & x \leq 3 \\ x-1 & x>3\end{array}\right.
b) lim⁡x→2f(x)\lim _{x \rightarrow 2} f(x) si f(x)={x2x≠2−1x=2f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} & x \neq 2 \\ -1 & x=2\end{array}\right.
c) lim⁡x→1f(x)\lim _{x \rightarrow 1} f(x) si f(x)={−xx<13x=1xx>1f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x & x<1 \\ 3 & x=1 \\ x & x>1\end{array}\right.
d) lim⁡x→1f(x)\lim _{x \rightarrow 1} f(x) y lim⁡x→2−f(x)\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) si f(x)={1−x20≤x<111≤x<22x=2f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x^{2}} & 0 \leq x<1 \\ 1 & 1 \leq x<2 \\ 2 & x=2\end{cases}
EJERCICIO 2.4

Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.

a) lim⁡x→−2−x+2x+1\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} y lim⁡x→−1+x+2x+1\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}
b) lim⁡x→1+x−1x+2\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} y lim⁡x→−2−x−1x+2\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}
c) lim⁡x→−1−(xx+1)(2x+5x2+x)\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right) y lim⁡x→0+(xx+1)(2x+5x2+x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)
d) lim⁡s→−3+ln⁡(s+3)\lim _{s \rightarrow-3^{+}} \ln (s+3)
e) lim⁡h→0−h2+4h+5−5h\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{h^{2}+4 h+5}-\sqrt{5}}{h}
EJERCICIO 2.5

Dadas las siguientes funciones, identificar su dominio y calcular los límites indicados.

a) lim⁡x→−32x+1x+3\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x+1}{x+3}
b) lim⁡h→−35h2h+3\lim _{h \rightarrow-3} \frac{5 h^{2}}{h+3}
c) lim⁡x→0x+3x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+3}{x^{2}}
d) lim⁡x→0ex−1x\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x-1}{x}}
e) lim⁡θ→π4cos⁡(θ)−sin⁡(θ)\lim _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \cos (\theta)-\sin (\theta)
f) lim⁡y→3y2−9y−3\lim _{y \rightarrow 3} \frac{y^{2}-9}{y-3}
g) lim⁡x→−32x3−5(x+3)(x−1)2\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{3}-5}{(x+3)(x-1)^{2}} y lim⁡x→12x3−5(x+3)(x−1)2\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-5}{(x+3)(x-1)^{2}}
h) lim⁡x→0x4−3x3+2x2x3+x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}}{x^{3}+x^{2}}
i) lim⁡x→0x4−16x2+x−6\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}-16}{x^{2}+x-6}
j) lim⁡y→3y2−y−6y2+7−4\lim _{y \rightarrow 3} \frac{y^{2}-y-6}{\sqrt{y^{2}+7}-4}
EJERCICIO 2.6

¿Para qué valores de a∈Ra \in \mathbb{R} el lim⁡x→0x2+ax+1−1x=2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2 ?

EJERCICIO 2.7

A partir de la gráfica de la función determinar, si existen, lim⁡x→+∞f(x)\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) y lim⁡x→−∞f(x)\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).

a)
b)
c)
d)
e)
f)
EJERCICIO 2.8

Calcular los límites indicados, para xx tendiendo a infinito.

a) lim⁡x→+∞(2x−3)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{x}-3\right)
b) lim⁡x→−∞(−1+5x)\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-1+\frac{5}{x}\right)
c) lim⁡x→+∞x5−x6+x\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{5}-x^{6}+\sqrt{x}
d) lim⁡x→−∞(2x7−3x5+7)\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{7}-3 x^{5}+7\right)
e) lim⁡x→+∞5x2+8x−33x2+2\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}+8 x-3}{3 x^{2}+2}
f) lim⁡x→−∞11x+22x3−1\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{11 x+2}{2 x^{3}-1}
g) lim⁡x→+∞2x2−37x+4\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}-3}{7 x+4}
h) lim⁡x→+∞x−x2+3\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+3}
i) lim⁡x→−∞x2−2x+3+x\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}+x
j) lim⁡x→+∞7x+1+27x−3\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x+1}+2}{7^{x}-3}
EJERCICIO 2.9

Calcular, si es posible, los límites de las siguientes funciones cuando x→+∞x \rightarrow+\infty y cuando x→−∞x \rightarrow-\infty.

a) f(x)=3x2+8−11f(x)=\frac{3}{x^{2}+8}-11
b) f(x)=1−xf(x)=\sqrt{1-x}
c) f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln (x)
d) f(x)=e−xf(x)=e^{-x}
e) f(x)=ln⁡(1x)f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)
f) f(x)=ex−3f(x)=e^{x}-3
g) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)
EJERCICIO 2.10

Hallar aa y b>0b>0 tales que el lim⁡x→∞(ax4+bx3x−x)=4\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}}}{x}-x\right)=4.

EJERCICIO 2.11

El lim⁡x→+∞x(x+a−x+3)=a\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+a}-\sqrt{x+3})=a. ¿Cuánto vale aa?

EJERCICIO 2.12

Escribir, cuando existan, las ecuaciones de las asíntotas horizontales y/o verticales de las funciones cuyas gráficas se muestran en el Ejercicio 7 y de las que se muestran a continuación.

a)
b)
c)
d)

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